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旋转体体积前沿信息_旋转体体积公式绕x c轴(2024年12月实时热点)

内容来源：兔耳朵在线影院所属栏目：教程更新日期：2024-11-30

旋转体体积

25考研每日一题｜第390题二重积分求旋转体体积，你掌握了吗「考研数学武忠祥超话」「2025考研」「决战考研」「考研数学」

一张纸搞定旋转体体积问题！𐟓 考研数学中，定积分求旋转体体积的问题可是数二的高频考点哦！𐟓ˆ 想要掌握这个知识点，首先要学会用二重积分来求旋转体的体积。这可是最本质的方法啦！即使你学得有点吃力，也能从中理解公式的由来，有助于你更好地记忆公式。𐟓š 对于一些特定题型，古尔丁定理可是个秘密武器！虽然平时可能用不到，但一旦在考场上遇到，能秒掉它可是能让你爽翻的！𐟒ꊊ为了快速画出积分区域，建议你翻看之前发布的一些重要图形。这些图形能帮你更好地理解问题，提高解题效率。𐟓 最后，别忘了加油哦！距离考研只有四十五天了，抓紧时间复习，你一定能行的！𐟒–

强化 — 390题 | 二重积分求旋转体体积武忠祥老师每日一题「考研数学武忠祥超话」「考研数学」「2025考研」「决战考研」武忠祥老师的微博视频

第15届全国大学生数学竞赛非数学B类解析从去年开始，第15届全国大学生数学竞赛将非数学类分为A类和B类。之前都是笼统的非数学类。这样划分的好处是，理工类和文史类可以分开考试，避免了因学习内容不一致而导致的竞赛不公平，使得竞赛更加公平、有针对性。下面我们来详细分析一下去年非数学B类的初赛试卷。试卷的前5道填空题非常简单，基础较好的同学基本上都能拿到满分。难的是大题目。首先，第一道大题是求旋转体的体积。这题其实不算难，但有些同学可能会因为忘记了公式而丢分。备考过程中，一定要熟记各种公式，比如定积分面积、定积分旋转体体积、积分再现公式、点火公式、高阶函数求导公式、麦克劳林展开式等等。这些公式如果长时间不用，很容易忘记，尤其是麦克劳林展开式。第二道大题是一阶微分方程求通解的题目。这道题在整张试卷中算是比较难的，如果没见过类似题目，基本上做不出来。这道题目确实会卡住一些同学。第三道大题是求幂级数的收敛域及其和函数。这道题目其实很普通，是平时练习中常见的题目。第四道大题考察中值定理。这道题也还算基础，只是第二问中运用罗尔定理前的构造函数可能会卡一下。其实只要套用公式，构造函数也不难。第五道大题是定积分的证明题。这道题目在整张试卷中算是第二道难的题目，因为它用到了柯西积分不等式。如果同学们在备考中没有遇到过这个公式，或者没做过这类题目，肯定做不出来。这道题目放在整张试卷的最后，是为了区分大家。毕竟竞赛嘛，有些知识点没碰到过也很正常。总的来说，整张试卷除了求微分方程通解和最后一道定积分的证明题这两道大题比较难外，其他题目都算是基础题，应该都能做出来。这些题目做出来了，拿个一等肯定没问题，但要冲进决赛，可能还需要在另外两题上有点说法。去年浙江省非数学B类进决赛的名额只有3个，名额少之又少，所以大家继续加油吧！

𐟓 模拟卷复盘：22李林四套卷数三卷③ 𐟔„ 旋转体体积的计算在计算曲线与直线的旋转体体积时，需要注意两点。首先，直线的旋转体体积可以看作圆锥的体积，因此要牢记圆锥体积的公式。其次，当绕y轴旋转时，有时计算不方便，这时可以对y进行积分，这样可以大大简化计算量。 ⚙️ 二重积分的易错点在计算二重积分时，看到根号下平方时一定要记得分正负号，这是很容易忽略的地方，需要特别注意。 𐟎š机变量函数的期望随机变量函数的期望看起来很复杂，但实际上只要按照随机变量函数的期望来计算就很简单。具体来说，随机变量函数的期望就是这个函数乘以原来随机变量的密度，然后对这个整体求积分即可。

高数笔记：不定积分与定积分的技巧 𐟓 分部积分法不定积分：∫udy = uv - ∫uv'dx 𐟓– 积分中值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么存在一个c在[a, b]上，使得∫f(x)dx = f(c)(b - a)。 𐟓ˆ 定积分的计算方法定积分可以通过不定积分求得，也可以通过区间内的变化量来计算。例如：∫f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的不定积分。 𐟔„ 变量替换法在定积分中，可以通过变量替换来简化计算。例如：∫f(x)dx = ∫f(y)dy，其中y = g(x)。 𐟓Œ 积分区域求面积通过定积分可以求出图形的面积。例如：S = ∫f(x)dx，其中f(x)表示图形的函数表达式。 𐟓Œ 求孤长通过定积分可以求出曲线的弧长。例如：L = ∫√[1 + (y')ⲝdx，其中y = f(x)。 𐟓Œ 旋转体体积通过定积分可以求出旋转体的体积。例如：V = ∫Ⲥx，其中y = f(x)。

定积分在几何中的应用总结 𐟓š 定积分在几何中的应用非常广泛，主要涉及平面图形的面积、简单几何体的体积、曲线弧长、旋转体表面积以及质心与形心的计算。以下是对这些公式的详细总结： 1️⃣ 平面图形的面积曲线y=f(x)与直线x=a, x=b（b>a）及x轴围成的面积：S = ∫(b,a) f(x) dx 曲线x=f(y)与直线y=c, y=d（d>c）及x轴围成的面积：S = ∫(d,c) f(y) dy 参数方程表示的曲线与直线x=’Œx=›𔦈的曲边三角形面积：S = ∫( f'(x) dx 2️⃣ 简单几何体的体积曲线y=f(x)与直线x=a, x=b（b>a）及x轴围成的平面图形绕X轴旋转得到的旋转体体积：V = ∫(b,a) [f(x)]^2 dx 曲线y=f(x)与直线x=a, x=b（b>a）及x轴围成的平面图形绕Y轴旋转得到的旋转体体积：V = ∫(b,a) [f(x)]^2 dx 曲线y=f(x)与直线x=a, x=b（b>a）及x轴围成的平面图形绕X轴旋转得到的旋转体体积：V = 2∫(b,a) x[f(x)]^2 dx 3️⃣ 曲线弧长直角坐标系中y=f(x)的弧长：S = ∫(a,b) √[1 + (f'(x))^2] dx 参数方程表示的曲线弧长：S = ∫( √[r'(t)^2 + r(t)^2] dt 极坐标系中f(的弧长：S = ∫(  d 4️⃣ 旋转曲面面积曲线y=f(x)，x∈[a,b]的孤段绕X轴旋转一周得到的旋转曲面面积：S = 2∫(b,a) f'(x) dx 曲线y=f(x)，x∈[a,b]的孤段绕Y轴旋转一周得到的旋转曲面面积：S = 2∫(b,a) f'(y) dy 极坐标系中f(，ˆˆ[绕X轴旋转一周得到的旋转曲面面积：S = 2∫( [(]^2 d 5️⃣ 质心与形心曲线型的质心公式：Xc = (∫(a,b) xx) dx) / (∫(a,b) x) dx)，Yc = (∫(a,b) yy) dy) / (∫(a,b) y) dy) 曲面型的质心与形心公式：Xc = (∫∫D xx,y) dxdy) / (∫∫D x,y) dxdy)，Yc = (∫∫D yx,y) dxdy) / (∫∫D x,y) dxdy) 例如，平面区域D=(x,y)|10≤y≤f(x), a≤x≤b的形心公式：Xc = (∫(a,b) xf(x) dx) / (∫(a,b) f(x) dx)，Yc = (∫(a,b) yf(y) dy) / (∫(a,b) f(y) dy) 𐟔 这些公式是定积分在几何应用中的基础，理解和掌握这些公式可以帮助你更好地解决相关问题。

最后三套卷：数学急救攻略来啦！𐟓š 终于拿到了最后三套卷，准备开刷啦！𐟒ꊊ金绣时代出品，质量有保障！𐟔 这套卷子涵盖了各种知识点，包括但不限于：函数求导：确保你有二阶连续偏导数，f(1,1)是f(u,v)的极值点。旋转体体积：计算由两条曲线围成的旋转体体积。微分方程：解微分方程，找出函数的通解。矩阵：证明矩阵为正定矩阵，并计算行列式。编著团队包括李永乐、武忠祥、王式安、宋浩、周洋、蠡薛威、刘斑故、双晓等知名数学专家，确保内容的准确性和权威性。𐟑袀𐟏밟‘颀𐟏늊最后三套卷，助你顺利过线！𐟚€ 快来挑战吧，看看你能答对多少题！𐟓

高中数学二级结论大汇总！ 𐟓š 高一、高二、高三都能用！这本汇总涵盖了高中数学的各个重要知识点，总共54页，助你轻松应对各种数学难题。 1️⃣ 内切球半径公式：对于任意的简单多面体，其内切球半径 R = (3V/S)^(1/3)，其中 V 是多面体的体积，S 是表面积。 2️⃣ 三角形中的tan关系：在任意三角形ABC中，有 tanA + tanB + tanC = tanA ⷠtanB ⷠtanC。若 tanAtanB < 0，则三角形ABC为钝角三角形。 3️⃣ 斜二测画法：直观图的面积是原图形面积的 1/2。 4️⃣ 椭圆与准线：过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。 5️⃣ 导数放缩：常用放缩不等式 e^x ≥ x + 1。 6️⃣ 椭圆面积公式：对于椭圆 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 (a > 0, b > 0)，其面积 S = b。 7️⃣ 圆锥曲线切线方程：已知圆锥曲线方程，求切线方程可以通过隐函数求导得到。 8️⃣ 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程。 9️⃣ 椭圆与直线相切条件：椭圆 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A^2a^2 + B^2b^2 = C^2。 𐟔Ÿ 四点共圆条件：若 A、B、C、D 是圆锥曲线（二次曲线）上顺次四点，则四点共圆的充要条件是直线 AC、BD 的斜率存在且不等于零，并有 kAC + kB = 0。 1️⃣1️⃣ 椭圆焦点三角形面积：已知椭圆方程，求焦点三角形面积的公式。 1️⃣2️⃣ 椭圆的焦半径公式：椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x 的点 P 的距离公式。 1️⃣3️⃣ 直线斜率关系：已知过原点的直线斜率，求其他直线的斜率关系。 1️⃣4️⃣ 二次方程切线方程：任意满足 ax^2 + by^2 = r 的二次方程，过函数上一点 (x, y) 的切线方程为 ax^2 - byy' = r。 1️⃣5️⃣ 渐近线与函数极限：已知 f(x) 的渐近线方程为 y = ax + b，则 lim[f(x) - ax] = b。 1️⃣6️⃣ 椭圆旋转体体积：椭圆 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 绕 x 轴旋转所得的旋转体体积为 b。 1️⃣7️⃣ 平行四边形对角线平方：平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和。 1️⃣8️⃣ 三角形函数不等式：在锐角三角形中，sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC。 1️⃣9️⃣ 函数周期性：函数 f(x) 具有对称轴 x = a, x = b (a ≠ b)，则 f(x) 为周期函数且一个正周期为 2a - 2b。 2️⃣0️⃣ 椭圆与直线交点纵坐标：已知 y = kx 与椭圆 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 相交于两点，则纵坐标之和为 -2m。 2️⃣1️⃣ 三角形面积公式：已知三角形三边，求面积的公式。 2️⃣2️⃣ 圆锥曲线第二定义：椭圆的第二定义是平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e 的点的集合；双曲线的第二定义是平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹。 2️⃣3️⃣ 到角公式：若把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 第一次重合时所转的角是 𜌥ˆ™ tan= (k1 - k2) / (1 + k1k2)。 2️⃣4️⃣ 三点共线条件：A、B、C三点共线的条件是 (x1 - x2)(y2 - y3) = (x2 - x3)(y3 - y1) = (x3 - x1)(y1 - y2)。 2️⃣5️⃣ 双曲线渐近线平行线面积：过双曲线 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 ab。 2️⃣6️⃣ 反比例函数焦点：反比例函数 y = k/x (k > 0) 的焦点为 (Ɫˆš2k, 0)。 𐟓– 这本汇总涵盖了高中数学的各个重要知识点，助你轻松应对各种数学难题，快来看看吧！

396数学疑难考点全解析，不用再纠结！ 𐟔𐟔由于396数学考纲相对简单，很多考生在复习过程中会对一些考点感到困惑，不知道是否需要深入掌握。为了帮助大家更好地备考，我们特别整理了396数学中大家普遍感到疑惑的一些考点，并对其掌握程度进行了详细说明。这次更新主要涉及高数部分，大家一定要记住哦！𐟓š 𐟌Ÿ𐟌Ÿ我们依据历年396真题考点和知识点之间的内在联系进行分析，对于真题中出现的知识点，大家一定要熟练掌握。例如，旋转体体积在21年改革后每年都考，24年也很可能会继续考察，所以大家一定要认真准备。还有一些虽然没有考过，但与已考过的知识点有内在联系的内容，也需要了解掌握，比如数列极限和反常积分等。𐟒ኊ𐟓除了上述疑惑考点，大家还有其他疑问的考点吗？可以继续提问哦！我们会尽快为大家更新线代和概率论部分的内容，敬请期待！𐟓– 𐟔𐟔

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